【正文】  一题多解在数学解题中经常见到,主要是指用两种或两种以上的方法解答某个题目.一题多解要求学生能够多方位、多层次、多角度分析题目的内容和所提出的问题,用不同的方法解答同一道题目,一方面可以起到互相检验的作用,另一方面通过对不同解法的比较,可以发现哪种方法更简单,哪种方法更容易理解,从而提高解题的速度和正确率。在课堂教学中，如何高效利用45分钟，促使学生获得最大学习效应是每位教师在每节课所追求的目标。习题课是数学复习课的重要课型，它的有效性决定着教学目标落实的程度，从而挖掘习题的内涵与外延是教师备课的一个重要过程。个人认为教师备课可以围绕“一题多解”或“一题多变”来设置课堂教片段。
  一题多解，灵活运用多方面的知识培养学生灵活性一题多解实质是用不同的方法，不同的方式去解答和论证一个题目。一道题目特别是思考题往往有很多种方法和途径来证明，在练习中要引导学生寻求和探索这些途径，用多种方法思考 问题。这样既可以使学生灵活运用多方面的知识，使学生加深理解和掌握了知识之间的内在联系，为培养学生的创造性思维、求异思维和勇于探索的精神创造了条件。又可以发现学生解题的思维过程是否符合逻辑思维的过程，发现学生运用知识和联系知识的不足之处，增加教学的透明度，对教师教学和学生学习起着教学相长的作用。
  一、一题多解，拓展思维。
  案例一：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P在圆周（x-3）2+（y-4）2=4上，则使得AP2+BP2取得最小值时点P的坐标是________．
  学生的解法一：
  分析：根据圆的标准方程，设出点P的坐标，然后利用两点间距离公式，得到AP2+BP2的表达式，利用正弦函数的最值，可求得P点的坐标．
  解答：∵点P在圆周（x-3）2+（y-4）2=4上，设x=3+2costy=4+2sintt∈R
  ∵A（-1，0），B（1，0），
  ∴AP2+BP2=（3+2cost+1）2+（4+2sint）2+（3+2cost-1）2+（4+2sint）2=（4+2cost）2+（3+2sint）2+（2+2cost）2+（4+2sint）2=16+16cost+4cos2t+9+12sint+4sin2t
=29+16cost+12sint=29+20sint（t+φ），其中sinφ=■，cosφ=■
  ∴当t+φ=-■+2kπ，k∈Z时，AP2+BP2取到最小值，此时sint=-sinφ=-■，cost=-cosφ=-■
此时P点的坐标为（■，■）
  点评：本题考查了圆的方程的综合应用，和平面内两点间距离公式，通过三角换元将二元问题转化为一元函数问题，实现了消元的目的．用到了换元的思想，转化的数学思想。
  学生的解法二：设P点坐标(x,y)，P在圆周上，所以P满足(x-3)2+(y-4)2=4PA2=(x+1)2+y2 PB2=(x-1)2+y2 PA2+PB2=2x2+2y2+2
把圆的方程展开x2-6x+9+y2-8y+16=4→
x2+y2+1=6x+8y-20PA2+PB2=4(3x+4y-10)
  ∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
  ∴代入圆的方程得P(9/5,12/5)
  点评：用到坐标的思想和用不等式求最值。
  学生的解法三：【平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和】
  作点P关于原点的对称点Q，则四边形PAQB是平行四边形，则：
2(PA2＋PB2)=PQ2＋AB2=[2OP]2＋[2OA]2=4[OP2＋OA2]
则当OP取得最值时，此时PA2＋PB2取得最值
  (1)OP的最小值是5－2=3，则此时PA2＋PB2的最小值是20；【此时点P是圆与OP靠近原点的交点】
  点评：用到平行四边形法则，利用向量的思想解决数学问题。
  在习题讲评时，我只用了一种方法，在改试卷时，我惊喜的发现，另外两种方法，所以，在讲评试卷之前应先考后改，再评讲，而且在评讲时，将学生的方法汇总一下，又分享给学生，通过听课、比较，找到简单便于理解的方法，从而达到复习和巩固知识的目的。
  二、一题多变，抓住通性。
　　多一道习题的深挖，不仅仅停留在讲解上面，学生到底会了没有，还要落实在行动中，因此，在学生易错的习题上要进行一题多变，使学生由听懂到学会，真正理解和掌握易错点。
案例二：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），点P在圆周（x-3）2+（y-4）2=4上，则使得AP2+BP2取得最小值时点P的坐标是________．
  变式练习1：已知⊙C：(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1，0)，B(1，0)，点P是圆上动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标.
  解析：从d的计算式中去探求具体解法，或用函数最值结论解决，或从形的角度去思考.
  设点P为(x0,y0)，则d=(x0+1)2+y20+(x0-1)2+y20=2(x20+y20)+2,欲求d的最大、最小值，只需求u=x20+y20的最大、最小值，此即求⊙C上点到原点距离之平方的最大、最小值.
  设直线OC交⊙C于P1(x1,y1)、P2(x2，y2)，则umin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2,此时OP1∶P1C=4，
  ∴dmin=34,对应P1坐标为(■,■),
  同理可得dmax=74,对应P2坐标为(■,■).
  变式练习2：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．
  【解析】设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求u＝x02＋y02的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.