【正文】  摘 要：随着核心素养的不断深入，践行核心素养，发展学生学习和应用数学的必备品格和关键能力，已经成为热门话题。本文将难度较大的二元一次方程组作为研究对象，基于APOS理论，以形成数学概念为基石，通过活动、过程、对象、图式四个阶段，逐渐升华开展深度教学，试图搭建有效的教学模型，期望对于方程的概念教学有一定的参考价值。
  关键词：APOS理论 概念教学 二元一次方程组 数学模型
  APOS理论是近年来美国数学教育家杜宾斯基提出的一种建构主义理论，该理论认为学生不可能直接学到数学概念，而是通过心智结构使所学的概念产生意义。[1] 学生学习数学概念的过程是一种自我心理建构的过程，在这个过程中，学生只有调整自己的认知结构或改造外部的认知结构，使主客观彼此一致，才能建构起新的认知结构。[2] 杜宾斯基他将数学概念的建立分为活动、过程、对象、图式四个阶段。“活动”阶段，有人也把它称为操作阶段，主要是通过学生的亲身体验，直观感受背景和概念的关系，这是获得概念的一个必要条件；“过程”阶段，不再借助外界的不断刺激，自动的进行思维概括并试着描述出数学概念的阶段；“对象”阶段，将概念作为已知的工具，进行转换、操作和应用；“图式”阶段，通过比较和总结，分辨出此概念和彼概念。这四个阶段是循序渐进，逐渐升华的过程。
  本课位于北师大版八年级上册第五章第一节，是对一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础，对于一元一次方程的概念和解，学生已经有了一定的认识；对于数学建模已经有了初步的尝试，但是很大一部分学生还是没有数学建模的思想和意识，面对自主型探究学习，还有一定的胆怯和畏难的情绪。而八年级的学生正处于形象思维到抽象思维的过度阶段，概念教学正是培养学生自主学习、探究学习很好的教学素材，所以教师要抓住每个概念教学的契机，充分发挥学生的自主性，培养学生解决实际问题的核心能力。本文依据APOS理论，结合课堂教学活动，进行了以下概念教学的初步尝试。
  第一阶段 以三个数学问题出发，进入活动充分“体验”阶段
  数学问题一：公园买票
师：8个人去红山公园玩，买门票花了34元，每张成人票5元，每张儿童票3元，到底去了多少成人？多少儿童？
学生讨论汇报，方法主要有三种：
  （1）用枚举法来求解
  （2）用假设法，算术的方法求解
  假设8张票全为成人票，求得总票价：8×5=40（元）；实际总票价为34元，多出40-34=6（元）；每把一张儿童票看成成人票，多算了5-3=2（元）；得出儿童票的张数为6÷2=3（张），成人票为8-3=5（张）
  （3）用一元一次方程来求解
  即设成人有x人，儿童则有8-x人，据题意得
    5x+3(8-x)=34
  （4）用二元一次方程组求解
  即设成人有x人，儿童有y人，据题意得5x+3y=34x+y=8
  师：你更喜欢哪种方法？为什么？
  数学问题二：教师先播放动画：《老牛和小马的争端》
  （动画情境如下：
  老牛抱怨说：我背的太多了，我从你背上拿来1袋面粉，我的包裹数就是你的2倍。
  小马说：你还累？这么大的个，才比我多驮了2袋面粉。）
  师：这种现象真的会存在吗？
  生：……
  师：你能想办法解决这个问题，说服我们吗？
  学生讨论汇报自己的想法： 
  方法一：列一元一次方程解决。即设小马驮的数量为x，据题意得：x+2+1=2(x-1)，解出x=5，是整数，满足题意(根据学生的回答，教师要提示学生列方程阶梯的步骤，强调等量关系)
  方法二：列二元一次方程组解决。即设小马驮的数量为x，老牛驮的数量为y,据题意得：
y-x=2y+1=2(x-1)
  (此处有部分学生，想到用代入消元法求解，教师应给予鼓励和肯定)
  师：请同学们对比两种方法的不同点和相同点？
  生：……
  数学问题三： 求解一次函数的解析式
  教师呈现直角坐标系中的两点A、B
  师：你能读出这两点的坐标吗？
  生：A（3，-1）、B（2，3）
  师：如果我连接A、B两点，你能求出AB所在直线的解析式吗？
  学生只能通过二元一次方程组来解决。及设一次函数的解析式为：y=kx+b,据题意得3k+b=-12k+b=3
  设计意图：APOS理论的活动阶段，是要让学生充分的进行亲身体验，为了达到此目的，此环节设计了三个数学问题，多以生活中的情境出发，第一个数学问题可以用四种不同的方法来解决，第二个数学问题可以用两种方法来解决，第三个数学问题则只能用二元一次方程组来解决，旨在体现二元一次方程的优势，即很容易从问题中找等量关系并列出方程。
  第二阶段 结合数学问题中的二元一次方程，探究描述其概念的“过程”阶段
  教师呈现以上三个数学问题中的六个二元一次方程
  师：你能找出他们的相同点吗？
  生：都是方程
  生：都有两个未知数
  生：……
  师：同学们刚才都说了很多，其实这些式子，在数学上我们都把它称为二元一次方程，如果让你给这些方程下一个定义，你准备怎么下呢？你们能类比一下我之前学过的概念来下吗？
  生：我们可以类比一元一次方程的定义来下。
  师：什么是一元一次方程？
  生：含有一个未知数，且所含未知数数的项的次数都是1的方程
  师：有没有同学愿意类比一元一次方程，说出二元一次方程的概念呢？
  生：含有两个未知数的方程叫做二元一次方程。
师：你赞成他的观点吗？
  生：不赞成，我觉得不仅应该含有两个未知数，而且所含未知数的次数也应该为1
  师：你能举例说明吗？
  生：比如2x2+y=4这就不是二元一次方程
  师：说得非常好
  师：你能把二元一次方程的概念完整的说出来？
  生：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程，就是二元一次方程
  师：在上面买票问题中的方程5x+3y=34和x+y=8，x所代表的对象相同吗？y呢？
  学生讨论交流汇报
  师：既然x、y在两方程中所代表的对象分别相同，我们用大括号括起来称为二元一次方程组。
  师生共同总结出二元一次方程组的概念，即共含有两个未知数的两个一次方程组成的一次方程。教师强调，方程组各方程中同一字母必须代表同一个量
  师：通过前面的学习，我们知道一元一次方程一般有一个解或是无解，那么二元一次方程，它的解也是如此吗？
  生：不是
  师：你能举例说明吗？
  生：比如x+y=8这个二元一次方程，它的解可以是x=0,y=8;可以是x=1,y=7;可以是x=2,y=6；还可以是x=3,y=5，还可以是x=4,y=4……
  师：一共有几个解?
  生：八组
  生：不对，这只是整数解，应该有无数解
  师：你们赞成哪种观点？
  生：无数解
  师：二元一次方程的确有无数解，那么二元一次方程组是不是也是如此呢？
  生：是，不是
  师：请同学们结合买票问题、老牛和小马的问题中找一找答案
  生：只有一个公共解
  师：是不是只有这一种情况呢？
  生：不是，还可能不解
  师：你能举例说明吗？
  生：比如x+y=8x+y=9这是二元一次方程组，但是却没有一个公共解
  师：这种情况叫什么？
  生：无解
  师生共同总结二元一次方程组只有一组公共解或是无解
  设计意图：让学生通过观察归纳二元一次方程的共性，并且类比一元一次方程的概念，用自己的语言描述出二元一次方程的概念，再引导学生讨论两个二元一次方程中，同一字母代表相同的量的本质特征，形成二元一次方程组的概念，整个环节以学生为主体，实现概念形成的“过程”阶段的自然性
  第三阶段 将概念作为“对象”的应用阶段
  教师ppt出示三个练习
  判断下列哪些是二元一次方程
x+3y-9=0                                 3x2-2y+12=0                             x2+y=20
3x-■ =1
3a-4b=7                                        2x+10=10
  请判断m-1=12m+n=1是二元一次方程组吗？
  小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了1kg苹果和2kg的梨，共花了26元；小丽买了2kg的苹果和1kg的梨，共花了28元，苹果和梨的价格各为多少元？
  根据题意，小明列出方程组：x+2y=262x+y=28
而小丽列出的是：2x+y=26x+2y=28
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的。他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？
  设计意图：以三个较典型的例题，检验学生将概念作为对象解决实际问题的应用情况，前两个例题，旨在强化和巩固概念的本质，突破重难点，第三个例题进一步让学生体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，培养学生从不同角度思考问题的意识（即在运用方程解决实际问题的过程中，未知数的设法不同，方程也不同）。
  第四阶段 内化概念成为“图式阶段”
  师：今天我们学习了二元一次方程和二元一次方程组，你能设计一些题目考考同桌的同学们吗？
  学生同桌交流
  教师ppt呈现：x+y+z=5；x2=4；y2-x=2
  学生试着分别说出他们的名称，即三元一次方程、一元二次方程、二元二次方程
  师：你们找到命名规律了吗？
  生：“元”代表的是方程中未知数的个数，“次”代表的是未知数的最高次数
  师：总结的非常棒！
  设计意图：通过自己出题考察同桌的方式，巩固重难点；通过试着对方程命名的方式，培养学生知识迁移的能力，在学生的认知结构中，形成各种方程的框架图式
   APOS理论下的教学设计，让学生对于概念的获得，真正建立在了自己充分体验的基础上，概念的获得成为学生的认知需要，真正的以学生为主体，让学生更充分的理解概念的本质，课堂中比较讨论总结的教学模式，让学生真正分清此概念和彼概念，有利于将方程真正在学生的认知结构中形成图式。整个概念的形成自然而深刻，在思维的碰撞中，践行着数学的学科核心素养。
  参考文献:
  [1]蒋亮.基于APOS理论的“数学归纳法”教学设计[J].数学通讯.2013.7：13-15
  [2]徐伟.让学生参与概念形成的全过程.[J].中学数学.2011.5:1-3
  [3]蔡华.初中数学概念教学与APOS理论运用.[J].教海探航.2011.646：25-26
  [4l刘文, 林红霞.蒙台梭利教育模式中国化探索.[J].湖南师范大学教育科学学报.2003.6:37-42