【正文】  摘 要：将数学史融入数学教育已得到各国教育界的认可。初中数学综合与实践在教学中主要应遵循探究性、实践性、问题性等教学原则。从数学史和中考题出发，以数学史料为载体，将其融入在综合与实践中，进行综合与实践的不同的尝试。希望对从事相关的数学教育研究者、数学教师有所帮助。
  关键词：综合与实践；数学史；中学数学教学；
  1数学史融入初中数学综合与实践问题的提出
  1.1数学史融入中学数学教学的背景
　　18世纪中叶德国数学家海尔布罗纳和法国的蒙蒂克拉他们相继出版了《世界数学史》和《数学史》，标志着数学史成为了独立的研究领域。1842年法国数学家泰尔凯创办《新数学年刊》和1841年德国数学家格鲁纳创办的《数学物理档案》这两种早期的为数学教育服务的杂志，大篇幅刊登数学史、数学文献的文章，很关注数学史的教育意义。泰尔凯很重视数学符号和术语的起源，英国数学家德摩根十分强调在数学教学中应遵循数学发展的历史顺序。1972年英国数学史学会成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（简称HPM）,标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。
　　1986年8月美国伯克利召开的第二届国际数学家大会，中国第一次派代表参加，吴文俊在大会上做了关于“中国古代数学史”的演讲，提出运用数学史的方式、基本原理，并且指出要根据学生教育水平的不同在数学史的运用上也要不同[4]。
  1.2综合与实践的研究是课程标准的要求
　　2001年7月，国家教育部制定的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中明确提出“实践与综合应用”与“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域并驾齐驱，共同引领数学课程的教学[1]。2011年9月，新修订的《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》中指出“综合与实践”是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。它是教师通过问题引领学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识与创新意识的重要载体”[2]。
  1.3综合与实践的研究是学科发展的必然
　　新课程标准对初中数学综合与实践教学提出了新的要求，即在增加知识接受者基本活动经验、基本理念的基础上将初中数学学习的课程内容与结构进行了进一步拓展。初中数学综合与实践教学促使初中数学课程教学在培养知识接受者数学基本知识和基本能力的同时，也为他们积累数学经验提供了更加便捷的渠道。数学综合与实践活动课程是指在教师引导下，学生自主进行的综合性学习活动，是基于学生的直观经验，密切联系学生自身活动和社会实际体验，体现对知识的综合应用的实践性课程。数学综合与实践活动是一种“问题解决” 的数学活动，是一种知识综合应用的活动，是一种新的学习方式是“做中学”教育思想的体现。
  2综合与实践研究的综述
  2.1 国外的研究现状及趋势
　　18世纪法国卢俊的《爱弥儿》主张主动去探索周围的事物，用探究的方法学习。19世纪末以杜威为代表的以儿童为中心的“做中学”认为探究在本质上是一种反省思维。美国1980年颁布了《关于行动的议程》中指出：“数学课堂应该围绕问题解决来组织”。荷兰数学家弗赖登塔尔提出的情境问题的解决，数学会是最重要的手段，日本文部省1998年颁布了中小学数学学习制度要领中提出“使学生体会到数学学习活动的乐趣”
  2.2 国内的研究现状及趋势
  初中数学综合与实践教学不仅可以促使教育工作者与知识接受者、知识接受者和知识接受者之间进行良好的交流沟通，而且在对数学知识的进一步创新探索过程中，树立正确的数学思想，从而激发知识接受者学习数学的潜力，注重综合与实践教学思想的应用，根据知识接受者的实际能力，当地中考题等方面内容进行数学教学方案的设计。
  3数学史融入中学综合与实践研究的尝试
  一．以幻方的历史和发展为背景的综合与实践
　　关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
　　大约在8世纪，中国的幻方记述传入阿拉伯地区。该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重要贡献。塔比伊本·库拉较早研究了幻方。约990年，一批阿拉伯学者编的本百科全书中可找到3，4，5，6阶幻方，并说明7，8，9阶幻方的存在。幻方1315年前后传人西方后，最初被赋予一种神秘性或作为护身符，成为神秘哲学的一部分，或是在一些场合中作为有趣的数学游戏。但当时并未引起人们的深思和研究。
　　在中国，宋朝杨辉的《续古摘奇算法》辑录了更高阶的幻方(至10阶)，他最早从数学角度研究了洛书的构造法以及其他6种变形幻方。它们同样具有某些组合性质。杨辉还构造出9个洛书构成的大幻方，如果洛书中的第列第行数记为。杨辉之后易东、程大位、王文素，清朝方中逦、张潮、保其寿对幻方及变形幻方有深入的研究。形式也趋于多样化。除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方，而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔。直到中世纪后．欧洲的一些数学著作中才开始出现讨论幻方及其改造的内容，如卡尔丹诺给出了分别以日、月和五星为名的幻方及构造法。7世纪，日本对幻方也产生很浓的兴趣，主要是关孝和对幻方和幻圆理论的研究。
　　现在的幻方种类很多，如一般幻方，对称幻方，同心幻方，完美幻方。平面幻方(二维)，幻立方(三维)，多维幻方。平方幻方，立方幻方，高次幻方，高次多维幻方。魔鬼幻方，马步幻方，多重幻方，六角幻方，双料幻方，幻环，幻圆等等。特殊的幻方有反幻方，完美反幻方
　　
　　

　　      
    图1       图2        图2 
综合与实践:通过综合运用有理数混合运算、用字母表示数及其运算等知识，探索三阶幻方的本质特征。经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验。通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验。
  二．以分赌本历史问题为背景的综合与实践
　　1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？这就是“分赌本问题”也是“数学期望”这个名称的由来。初中数学综合与实践教学过程中，数学模型的建立为知识接受者的学习提供了更加便捷的渠道，同时在数学模型的建立及进一步研究过程中可以促使知识接受者获得更加丰富的数学学习经验，为以后的数学知识学习打下基础，数学建模即以顺序的视角针对某个现实问题进行资料收集，加工处理、然后将现实知识用数学语言进行分析处理，转化为具体的数学模型。
　　概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。
  后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。
  三．以图形镶嵌历史问题为背景的综合与实践
  用多媒体展示一组美丽的平面图形镶嵌的图案，让学生欣赏(如图1).




  初中数学教育工作者可以增加日常教学过程中中考数学题目的融入，并进一步开发拓展，充分利用中考题目中综合与实践问题的资源，并将其融入实际教学过程中，从而促进知识接受者在学习过程中不断提升解决中考题目的能力。
  例1（2011泉州）下列正多边形中，不能铺满地面的是（　　）
  A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正七边形
  分析：选：D．
点评：本题考查的是平面镶嵌的性质，解这类题目时要根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
  例2（2006泸州）张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（　　）
  



  分析：选C．
  点评：本题考查几何图形平面镶嵌（密铺）的基本性质．
　　教师进行综合实践活动的最终目的就是促进学生的发展和能力的提升，使学生能够通过参与学习过程实现潜能的充分发挥，掌握学习方法，养成良好的学习习惯。教师要注重学生自主地提出问题，指导学生明确活动主题，鼓励学生在思考和探究后积极制定方案，并分析方案的合理性程度，让学生掌握综合实践活动的主动权。在传统的教学评价中，教师往往通过单一的量化手段对学生知识掌握的情况进行分类，更多的是通过考试成绩对学生进行评价。可以说这是一种按照分数的评价方式。教师的评价越具体，学生的学习主动性就会在很大程度上得到发挥和提高。教师要关注多角度，不仅仅要关注过程评价，还要注重结果评价，教师不能忽略活动结果评价和学生对问题解决基本能力的评价，要密切关注学生发展的实际程度，使评价能够变得细致、全面、客观、有效。
  4综合与实践研究的意义
  各个国家所设置的与数学综合与实践活动有关的课程，都有很多共性，以“问题解决”为主要特征，在探究过程中让学生学会分析问题和解决问题，从实际生活中选择课题，加强数学与生活的联系，让学生体会到数学与生活、社会和自然之间的关系，加强数学与其他学科之间的联系，培养学生的创新与实践能力，使学生能够养成灵活地运用数学知识的习惯，重视学生为主体，教师为主导的教学方式。实践综合与实践时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作交流，并照顾到所有的学生，教师不仅要关注结果，更要关注过程。 尽可能地适应学生的心理特点，满足他们的好奇心，真正做到“寓教于乐”，让学生在愉快的气氛中，既获得知识，又培养能力。更能得到情感的体验。 
  参考文献:
  [1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育阶段数学课程标准(实验稿)[M]．北京：北京师范大学出版社，2001.
  [2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育阶段数学课程标准(修改稿)[M]．北京：北京师范大学出版社，2011.
  [3]董永春，浅谈数学史融入初中数学教学的研究─以北师大教材为例[J]．成都市中小学教师论文二等奖.2018.
  [4]董永春.浅谈初高中函数概念教学的对比[J]．成都市中小学教师论文二等奖.2017.
  [5]董永春，赏析与高斯函数有关的中考新定义问题[J]．成都市中小学教师论文二等奖.2017.